Dans cet article, je vais proposer des pistes de travail sur le modèle en barres à partir de mon site Actilud.com qui, une fois adaptées à votre classe, vous feront gagner du temps et de l’efficacité grâce au numérique.
Cet article est obsolète. Une version à jour est disponible sur le site d’information d’Actilud.
Cet article n’a pas pour but d’expliquer dans les détails l’intérêt pédagogique des schémas en barres; il existe pour cela des parcours sur M@gistère. Notre exemple portera sur le schéma en barres additif, mais il est tout à fait adaptable au modèle en barres multiplicatif, présent aussi sur Actilud. N’hésitez donc pas à adapter la démarche.
Le schéma en barres additif
Actilud.com, numération et problèmes de base, B4: initiation au schéma.
Prenez le temps d’observer les différentes configurations possibles des paramètres. Celle que nous allons utiliser dans cet article est 4-1-3.
Cette configuration permet une présentation à toute la classe, sur TBI ou vidéo-projecteur, ainsi que le travail individuel sur un problème proposé par l’enseignant. Variez le total ou l’affichage en fonction du niveau de classe et des difficultés des élèves.
Avec ces paramètres on obtient ceci :
Notez la présence du point d’interrogation, en haut de l’écran. Il a son importance car il permet de marquer la barre qui contient la réponse – et de cacher celle-ci dans le but de la faire calculer. Vous pouvez déplacer le point d’interrogation sur n’importe laquelle des trois barres :
Le schéma en barres sur Actilud est adaptable; si vous travaillez le comptage avec la dizaine voici le paramétrage 4-2-1 :
Une démarche pour initier les élèves
La démarche traditionnelle (sans le numérique) est d’amener progressivement les élèves à élaborer un schéma en barres, avec du matériel comme des cubes ou des réglettes. Comme vous vous en doutez, l’intervention de l’enseignant est indispensable à plusieurs étapes pour enfin arriver à un schéma viable.
Grâce au numérique, nous pouvons inverser la démarche, car le schéma sur Actilud n’est pas une abstraction mais bien une « machine virtuelle » tout à fait opérationnelle.
L’idéal est d’utiliser un TBI. Si vous n’en avez pas, prenez un vidéo-projecteur. Une connexion Internet est nécessaire aussi, bien entendu. Si vous avez une classe mobile d’ordinateurs ou de tablettes, c’est le moment de les distribuer pour permettre aux élèves d’expérimenter le modèle, seuls ou en petits groupes.
La démarche proposée ci-dessous n’est pas normative: l’enseignant doit l’adapter en fonction de la classe et de la progression.
Première étape: découverte du modèle – activité de recherche
Présentez le modèle avec le paramétrage indiqué plus haut. Voici le questionnement :
C’est « une machine à résoudre les problèmes ». Trouvez comment elle marche. Pourquoi peut-on dire que c’est une machine à résoudre les problèmes ? Quelles sortes de problèmes peut-elle résoudre ?
Laissez les élèves chercher sur leur tablette, et/ou imaginer des réponses et les présenter sur le TBI.
Vous verrez que très vite, les élèves percevront très bien l’intérêt de la machine, surtout si l’enseignant les laisse libres d’interagir. Dans un premier temps, n’utlisez pas le point d’interrogation.
Au CP nous avons vu des élèves « pousser » le modèle dans ses limites, en abordant de rôle du zéro :
0=0+0… et le zéro n’est pas affiché car il n’y a plus de place pour l’écrire… et parce que si j’ai zéro bille, je n’ai « rien ».
Sans vouloir préjuger des réponses de vos élèves, il y a fort à parier que celles-ci tournent autour du calcul. C’est une machine à résoudre des problèmes car elle permet de faire des calculs, en particulier l’addition (et la soustraction s’ils la connaissent déjà).
Deuxième étape : calculs et problématisation
Cette démarche s’effectuera sans doute sur plusieurs séances.
Notre objectif n’est pas de faire du calcul, mais bien de résoudre des problèmes. Pour cela, nous inversons les procédures habituelles – nous allons partir du calcul pour trouver un problème. On peut dans un premier temps, passer par une phase de calculs, hors de toute problématisation. Mais, dès que le type de calcul est bien compris, il faudra concevoir des énoncés simples faisant appel à ce type de calcul.
Pour commencer l’enseignant positionne le point d’interrogation sur une des barres (il est judicieux de commencer par la barre du haut), puis modifie les tailles des barres et demande aux élèves de trouver la valeur (longueur) de la barre cachée.
La question est :
Quel est le calcul ?
Si les élèves peuvent utiliser leur tablette, ils trouveront assez facilement la valeur-réponse en reproduisant le modèle. Mais ici, l’important n’est pas de trouver la valeur de la réponse, mais le calcul qui mène à cette valeur, et que le modèle n’indique pas :
Réponse que l’on peut schématiser ainsi (le cas échéant, si votre classe s’y prête, on peut aborder de suite les deux écritures possibles de notre équation- mais s’il y a le moindre risque de confusion ne prenez qu’une seule des deux écritures) :
? = 20 + 40
20 + 40 = ?
Il convient de proposer plusieurs calculs du même type, en laissant le point d’interrogation sur la même barre. Il est aussi conseillé de laisser les élèves proposer eux-mêmes des calculs, sur le TBI c’est beaucoup plus motivant pour eux !
Proposer rapidement un problème
Sur le même type d’opération de calcul, il ne faut pas perdre trop de temps et rapidement problématiser. Pour cela, on peut poser la question suivante aux élèves :
Quel problème peut-on inventer avec ce calcul ?
Dans le cas de notre opération, la réponse attendue est un problème simple de type Vergnaud, tel qu’on peut en trouver sur le site :
Alice a 20 billes. Elle joue contre Bob et en gagne 40. Combien de billes a-t-elle maintenant ?
Avec des billes, il est probable que les élèves inventent un problème de transformation. Bien sûr, les autres types de problèmes sont aussi les bienvenus ! Voici un autre exemple de proposition, faisant intervenir une composition, toujours avec des billes :
Alice a 20 billes, Bob en a 40. Combien de billes ont-ils en tout ?
En procédant ainsi, l’enseignant peut, s’il le désire, discuter de la pertinence de chaque énoncé proposé, l’améliorer, puis l’écrire afin de réaliser une première banque d’énoncés créés collectivement, à distribuer ensuite aux élèves.
Une fois que les élèves maîtrisent un énoncé, ils peuvent s’amuser à changer les paramètres et chacun peut inventer son problème, puis demander aux autres de le résoudre.
Lorsque le type d’opération est bien maîtrisé, on peut compliquer dans la prochaine séance.
60 = ? + 40
? + 40 = 60
Cette écriture colle tout à fait au modèle en barres classique, avec addition à trou.
Dans cette situation, si vous avez déjà abordé la soustraction, vous pouvez certainement donner l’indication que pour résoudre cette addition à trou, on peut faire une soustraction. Mais ce n’est pas absolument indispensable dans un premier temps. Si on part du modèle en barres, la question est: combien dois-je ajouter à 40 pour obtenir 60?
Comme auparavant, entraînons nos élèves à trouver les réponses par calcul sur la même situation, en faisant varier les valeurs, puis problématisons.
Ici le type de problème devient :
Alice et Bob ont 60 billes en tout. Bob en a 40. Combien de billes possède Alice ?
La démarche doit être répétée pour la barre de droite. Les élèves remarqueront que certes l’écriture change légèrement (60 = 20 + ?) mais qu’au fond, c’est exactement la même démarche que pour la barre de gauche.
Troisième étape: résoudre un problème donné
Cette fois, l’enseignant va écrire un énoncé au tableau. Les élèves disposent du schéma sur leur tablette et/ou peuvent reproduire le schéma sur un cahier.
Notons que si les élèves reproduisent le schéma sur le cahier, ils vont avoir des difficultés à conserver la proportionnalité de la taille des barres sur leur dessin, en particulier si les nombres sont grands. Les élèves ont toujours tendance à suivre le modèle qu’on leur présente, et vont perdre du temps à représenter les barres de la manière la plus précise. Or, le respect de la taille n’est pas (trop) importante. Ce qui l’est, en revanche, c’est l’écriture des données aux bons endroits. La taille d’une barre doit figurer sous la forme d’un nombre, peu importe si la proportionnalité n’est pas respectée. C’est ainsi que nous pouvons aborder un niveau d’abstraction plus grand.
Cette fois, l’énoncé proposé par l’enseignant peut être dans l’une ou l’autre des catégories qu’on a vues: avec addition ou soustraction. Aux élèves d’essayer de le résoudre à l’aide du modèle.
Quatrième étape: entraînement sur le site
Actilud.com, numération et problèmes de base, exercice B6: composition d’états avec schéma.
L’intérêt du site est qu’il peut obliger (selon le paramétrage) à placer les étiquettes de données sur les bonnes barres. C’est utile pour travailler la compréhension des problèmes. Le vocabulaire est volontairement assez simple car l’objectif est d’abord de permettre aux élèves de résoudre des problèmes simples, non d’enrichir leur vocabulaire (ce qui sera fait plus tard, une fois la maîtrise acquise).
Grâce au site, l’enseignant peut très facilement adapter ses consignes au niveau des élèves :
Dans l’illustration ci-dessus, on utilise le schéma pour calculer automatiquement la réponse. Ici, l’intérêt est de travailler l’énoncé, laissant les calculs à la machine. Où l’on voit à quel point le numérique est facilitateur !
Dans cette illustration, le schéma est utilisé pour comprendre l’énoncé, mais le calcul est laissé à la discrétion de l’élève.
Cinquième étape (et suivantes…)
Il est possible d’aborder d’autres types de problèmes additifs (transformation, comparaison, etc) en s’inspirant des étapes vues précédemment. Progressivement, on peut constituer une banque de problèmes simples constituant une référence pour les élèves.
La machine « plus-moins » : un modèle alternatif
Il est important que les élèves comprennent que quel que soit l’énoncé de type additif, il entre dans une seule modélisation, celle du modèle en barres classique. Que l’on ait une addition ou une soustraction, c’est le même modèle qui sous-tend le problème.
Toutefois, comme tout modèle, le modèle en barres classique a ses limites. En particulier, il réduit toute soustraction à une addition à trou.
Certes, c’est vrai d’un point de vue mathématique.
Mais ce ne l’est pas dans la vie courante.
Lorsque j’ai 10 billes et que j’en perds 7, je ne fais pas une addition.Et je ne ressens certainement pas la perte comme un gain.
Même si je compte avec les doigts, je pars de 10, j’abaisse 7 et je compte ce qu’il reste. Alors qu’avec le modèle en barres classiques, je devrais partir de 7 et voir ce qu’il me manque pour arriver à 10. Ce n’est pas du tout le même raisonnement.
Encore une fois, il est très important que les élèves comprennent que cette situation entre dans le cadre de la modélisation classique.
Mais d’un point de vue opérationnel, il m’a semblé pertinent de créer un nouveau modèle, la machine plus-moins, qui permet de mieux travailler la spécificité de la soustraction.
Si vos élèves sont suffisamment à l’aise avec le modèle classique, vous pouvez leur présenter le nouveau modèle. S’ils utilisent le site pour résoudre les problèmes, on peut même leur laisser le choix du modèle, selon leurs préférences ou, encore mieux, selon le problème du moment.
J’ai 39 billes. J’en perds 20. Combien m’en reste-t-il ?
J’ai 39 billes. J’en gagne 20. Combien ai-je de billes en tout ?
La machine « plus moins » est plus adaptée à certains problèmes de transformation et de composition de transformations. La machine classique est adaptée aux problèmes de composition.
Attention, si vous vous lancez dans l’utilisation de ce modèle, sachez qu’il n’est pas documenté ! C’est une invention de ma part pour Actilud. Ce modèle a été créé sous l’ère numérique et demande donc un ordinateur, une tablette… dispositifs encore très largement ignorés dans la didactique de la résolution des problèmes ! Donc, utilisez la machine « plus moins » avec prudence et discernement. Mais essayez-la ! Vous verrez qu’elle est très intéressante aussi.
Traiter des problèmes avec des nombres plus grands ?
Le plus grand nombre possible est 100, pour le modèle additif en barres sur Actilud. Utiliser le modèle pour des nombres plus grands n’est pas possible, tout simplement pour des raisons d’ergonomie et de simplicité de la manipulation. Mais pour une intitiation aux problèmes cela n’est pas gênant. Une fois que les élèves ont compris la démarche avec le site et des nombres inférieurs à 100, ils peuvent reproduire le schéma sur leur cahier avec des nombres bien plus grands.