Le site Actilud propose 9 exercices paramétrables pour travailler les problèmes de base.

Cet article est obsolète. Une version à jour est disponible sur le site d’information d’Actilud.

Les types de problèmes abordés

Les problèmes reposent sur la typologie de Vergnaud. Sur Actilud, ne seront abordés que les problèmes additifs. Les multiplications et divisions ne sont pas exclues, mais pour le moment elles ne sont pas programmées.

Composition d’états

Deux états A et B se composent pour donner un nouvel état, C. Les états A et B ne sont pas modifiés.

Alice a 3 billes. Bob en a 5. Combien de billes ont-ils ensemble ?

Alice et Bob ont 10 billes en tout. Alice en a 4. Combien de billes possède Bob ?

Transformation d’états

L’état A se transforme en l’état B par une transformation t.

Alice a 3 billes. Elle en gagne 5 contre Bob. Combien en a-t-elle à la fin du jeu ?

Alice a gagné 5 billes contre Bob. A la fin elle en a 8. Combien en avait-elle au début ?

Comparaison d’états

Deux état A et B sont comparés par l’opération c. Les deux états ne sont pas modifiés. Les problèmes de comparaison se repèrent par l’utilisation fréquente des locutions « de plus », « de moins »…

Alice a 8 Billes et Bob en a 5. Combien de billes Alice a-t-elle en plus ?

Alice a 8 billes et Bob en a 3 de moins. Combien de billes Bob possède-t-il ?

Composition de transformations

Sans doute le type de problème additif le plus difficile. Nous ne connaissons pas les états sur lesquels opèrent les transformations. Une transformation t1 se compose avec t2, donnant t3.

Alice joue contre Bob. Elle gagne 5 billes puis elle en perd 6. A la fin du jeu, combien en a-t-elle perdu en tout ?

Alice joue deux fois contre Bob. Au premier tour elle gagne 5 billes. A la fin du jeu, elle a perdu en tout 1 bille. Combien de billes a-t-elle perdues au deuxième tour ?

Utilisation du site Actilud

On trouvera sur Actilud deux exercices pour chacun des trois premiers types de problèmes. Les premiers exercices portent sur des billes, et certains peuvent être utilisés dès la maternelle, et jusqu’au CM2. Les seconds exercices portent sur des pesées, et requièrent des compétences supplémentaires (capacité à effectuer une pesée, utilisation de la tare).

Le dernier type d’exercice, la composition de transformations, n’utilise que les billes. Vu la complexité de ce type de problème, il faut attendre que les élèves soient suffisemment à l’aise avec les premiers types avant d’aborder celui-ci.

Deux objectifs pédagogiques

• comprendre le problème
• automatiser sa résolution

Comprendre le probleme

Il est préconisé d’utiliser les problèmes avec les billes.

Le nombre de billes dans ce type de problème est paramétrable: de 1 à 10, de 1 à 20, ou jusqu’à 100. Ceci permet d’aborder ces problèmes dans des cas simples, où il n’y a pas de difficulté de calcul, ou avec de jeunes élèves qui sont encore en train d’apprendre la numération.

L’élève a une grille de 10×10 cases à sa disposition, ainsi que des billes de plusieurs couleurs. Dans les cas de problèmes où il utilise des nombres supérieurs à 10, il  dispose aussi de sacs de 10 billes.

L’élève est libre d’organiser ses manipulations comme il l’entend. Bien sûr  il sera amené à faire du comptage. Comptage simple, avec des billes à l’unité. Ou compttage  plus complexe, avec des sacs de 10 et des billes à l’unité. Libre à lui de s’organiser comme il le veut (avec ses sacs de 10 ou pas… Remarquez que s’il manipule des nombres jusqu’à 100 et qu’il place les billes une à une, il finira vite par utiliser les sacs…)

L’élève doit rouver une démarche, poser les billes correspondant à l’énoncé, en vue de la résolution,

Pour aider les élèves on peut cibler le type de questions. Par exemple, dans un premier temps,  on peut ne proposer que des problèmes où il faut « trouver le tout ». Mais il faut assez rapidement aborder aussi le deuxième type (« trouver la partie »). Pour corser la difficulté, le programme peut choisir le type de question de manière aléatoire.

L’enseignant à cette étape doit être attentif aux types de réponses apportées par les élèves et à la façon dont ils résolvent le problème.

Attention, certains élèves se passeront aisément de la manipulation et feront directement le calcul. C’est très bien, il faut les valoriser et surtout dans ce cas ne pas exiger de manipulation. Ils ont compris, inutile de les retarder !

Objecttif particulier de compréhension sur la composition de transformations

Sur ce type de problème les élèves rencontreront une difficulté, lorsque Alice finit par perdre des billes. C’est le cas dans l’énoncé suivant:

Alice joue deux fois contre Bob. D’abord elle gagne 5 billes, puis elle en perd 7. Combien de billes a-t-elle gagnées ou perdues en tout ?

Si l’élève place d’abord 5 billes pour indiquer le gain, il ne peut évidemment en ôter 7. Deux stratégies de résolution sont alors possibles :

1. l’élève se place du point de vue de Bob. Ce qu’Alice perd, Bob le gagne. On inverse les données de l’énoncé, Bob gagne 7 billes et en perd 5. Il en gagne 2 au final. Donc Alice en perd 2.
2. On constitue un stock initial de taille « suffisante » (encore faut-il préciser avec les élèves ce que signifie « suffisant » et comment obtenir ce nombre sans aligner un nombre astronomique de billes). On compare ce stock avec le stock final. Dans ce cas, on voit que le problème revient à un classique problème de transformation d’états. L’intérêt de cette démarche est de bien indiquer que l’état initial existe, même s’il ne figure pas dans l’énoncé. Par contre, le stock de départ peut être un nombre quelconque, à partir du moment où il est « suffisant » pour résoudre le problème.

Le point 2 est intéressant mais ne doit pas être développé trop longtemps. En effet, la création d’un stock initial est une opération supplémentaire qui nuit à la résolution du problème.  Il est important que l’élève comprenne qu’il existe un stock initial, que celui-ci est suffisant pour résoudre le problème, mais qu’il ne connaît pas ce nombre. D’où l’intérêt de cette démarche. Mais il faut aussi comprendre qu’on doit se passer de cette étape supplémentaire dans les calculs.

Automatiser la résolution

Quelle que soit la démarche employée pour résoudre les problèmes, le logiciel n’effectue pas de contrôle quand aux manipulations effectuées par les élèves, dans les problèmes de billes.

Autrement dit, les élèves ne sont pas obligés de manipuler. Il peuvent aussi se servir de la calculatrice intégrée… ou calculer mentalement.

Une fois les deux premières étapes passées en revue, l’élève peut passer à l’automatisation en utilsant l’entrée aléatoire.

Enfin, pour pousser à l’automatisation, le logiciel offre un mode de calcul « contre la montre » ! L’élève dispose de trois minutes pour répondre correctement au plus grand nombre de questions. On peut organiser un concours pour les amener à calculer vite. Dans ce mode, les élèves se rendront compte que le calcul mental maîtrisé offre un avantage certain !

Si vous faites le concours sur plusieurs dispositifs, sachez que les utilisateurs d’ordinateurs possèdent un avantage sur les tablettes : la saisie est beaucoup plus rapide ! Il faut donc créer des catégories selon le dispositif technique utilisé…

Aller plus loin avec les pesées

Deux balances sont proposées. Les exercices sont plus simples avec la balance électronique. Les nombres sont aussi classés en trois catégories, selon les masses des fruits et légumes qui sont utilisés.

Dans les exercices de transformaton avec les balances, un didacticiel a été ajouté pour expliquer la notion de « tare ». La tare nous permet en effet de mesurer une différence de masse ou de poids.

L’utilisation des pesées permet d’améliorer la compréhension des types de problèmes en offrant une nouvelle approche, originale.

Le site

Le site Actilud se trouve ici :Choisir l’entrée « problèmes de base »